Prosvetni glasnik

НАСТАВА И КУД1УРЛ

1047

Да не бих замарао читаоце множином таквих етавова, чији докази не нричињавају никакве тешкоће, ја ћу овде у наиред изложити само оне, чије је знање потребно за оно што следује. п-димензионално (где п може бити = 1, 2, 3, 4, ) просторе позитивне, негатавне и нулте кривине (ови иоследњи су евклидовске природе). Најважније разлике међу поменутим трима геометријама дводимензионалног простора су ове. Док се у површини нулте кривине (Евклидовој равни) може из једне тачке ван једне нраве повући само једна иаралелна, дотле се у Лобачевској иовршини негативне крнпине могу кроз такву тачку повућж две паралелне и бес.коначно много иравик које се са датом правом не секу (упор. прим. 9 и 10), а у Римановој површини позитивне кривине није могуће ноиући ниједну иаралелну. Даље, док је збир углова у троуглу у Евклидопој равни равап 180°, дотле је тај збир у Лобачсвсково.ј равни мања, а у Риманово.ј вев.и од 180°. Правим линијама на кривим површинама Лобачевеког и Рпмана називају се њихове геодетске линије, које су праве само у релативном смислу, док је једипо права линија Евклидове равни права у аисолутном смислу. Нз Гаусовог иојма кривине површиие следују извесне последице од фундаменталне важности за однос геометрија на кривим површинама према овим трима геометријама, нри чему ћемо се овде ограничити само на површине константне кривине (ношто има многих математичара, који само такве површине сматрају са дводимеизионалне просторе; упор. ннр. В.Киз8е1, »Ап езаау оп [ће {'ошмШшпа о! §еошеи-у«. 1897, стр. 149 и д.). Ако се у изразу за кривину К = —-—било један било оба иолупречника кривине ставе — оо , К ће бити = 0. Нрема томе не само што ће, Евклндова раван, у којој су све ираве, које полазе из једне тачке, цраве у апсолутном смислу, бити површина нулте кривине, него и оне иовршине код којнх геодетске линије, које иолазе из једне тачке, нису све праве у ацсолутном смнслу, ирестављаће такве иовршине (тако н. пр. на површини цилИндра кроз једну тачку цролази само једна апсолутна права, док су остале геодетске линије само за површину цнлиндра праве, с ногледом на околни простор пак криве; површина цилиндра је дакле површина нулте кривине). Ако је К позитивно или негативно, његова копстантност може нроизлазити или из тога, што су оба полупречника кривине за сваку тачку и за све тачке једнаки (р! = р 2 ), или ти полупречннци могу за разне тачке бити различни, алп њихов продукт увек исти (<>, • р. 2 = сопз(;.). У првом случају добнјамо две цовршине, једну позитивне другу негативне кривине, које су исто тако суда аасолутно хомогене, као што је то и Евклидова раван, прва од њих је Риманова, друга Лобачевскова раван. У другом случају добијају се површине позитнвне и негативне кривине, које нису апсолутно хомогене. На основу Гаусовог појма кривине да се иоставити општи став, да се еве човршипе, које имају исту сталну кривину, дају развити једна на другу. За две површине каже се да се могу развити једна на другу, ако се једна од њих да савијањем или о&вијањем без истезања и раскидања тако положити на другу, да се обе површине потпуно поклопе (при чему дужиие геодетских линија и углови међу њима остају исти). Тако нпр. цилиндар се да одвијањем положити на Евклидову раван тако да се његова површина цотпуно поклапа са овом, н обрнуто раван се да савијањем ноложити око цилиндра тако, да се поклопи са његовом површином. На исти начин да се евака површина позитивне кривине развити на површини кугле и обрнуто, и свака површина негативне крпвине на. Лобачевсковој равни. Како при развпјању остају дужине геодетских линије непромењеае и углови међу њима исти, то очевидно све површине једне исте сталне кривине имају исту геометрију, на свима површинама