Zapiski Russkago naučnago instituta vъ Bѣlgradѣ

22

ооо

1=()

7. Теорема У. Необходимымъ и достаточнымъ услов1емъ для того, чтобы геометрическое мЪЬсто особенныхъ точекъ п-аго порядка было огибающей, является требован!е, чтобы для всЪхъ точекъ геометрическаго мЪста удовлетворялось услов!е:

Еап = 0. ДъЪйствительно, для особенныхъ точекъ л-аго порядка ЕхчуВ = 0, гдЪ “в < п 1. Тогда, согласно теоремЪ ПУ, существуютъ соотношеня: Ра —=@ Ра 0. о Га ==,

которыя являются необходимыми условями для всБхъ точекъ геометрическаго мЪста. Но въ этомъ случаЪф удовлетворяется и уравнение:

УС Рь и ах" ау — (— 1) Е 4а"=0, (0

которое, являясь однороднымъ, дастъ услов!е, которому а а должно удовлетворять отношение я т. е. угловой коэффищентъ для любой точки геометрическаго мЪста. Угловой коэффищентъ касательной въ особенной точкЪ кривой опредЪлится изъ уравнения:

у СЕ ул ах" "ау = 0; (2)

поэтому услов!я, при которыхъ эти уравнения будутъ имБть совм$стный корень, будутъ условями того, что геометрическое мЪсто особенныхъ точекъ будетъ огибающей.

Очевидно, что если Ра" = 0, то оба уравненя будутъ имЪть обиций корень.

Обратно, если для нЪкотораго значения х, у, удовлетворяется второе уравнен!е, то вставивъ это значен!е въ первое уравнен!е, получимъ услов!е при которомъ этотъ корень будеть и корнемъ перваго уравнен1я. Такъ какъ при этомъ

п членъ \ С: Ея ах" ‘ау’ обращается въ нуль, то услове

х

о это будеть: