Zapiski Russkago naučnago instituta vъ Bѣlgradѣ

вспомогательная независимая перем нная не фигурируетъ явно зъ полученныхъ уравнен1яхъ.

Нетрудно видфть, что полученная система имБетъ то же значен!е, что и система уравней Монжа въ полныхъ дифференщалахъ; она только написана въ иныхъ обозначеняхь и безь всякаго труда сводится на уравненя Монжа.

Боле того, если прослЪдить самый выводъ уравненй Ампера, то онъ совершенно аналогиченьъ выводу Монжа. У послЬдняго автора задача приводится къ уравнен!ю линейному отн сительно второй производной $ (см. уравнене (4) въ упомянутомъ выше изложен!и Дарбу). Приравнявъ нулю оба члена, незазисящие отъ $ получаются два окончательныхъ уравнен!я системы Монжа.

Амперъ получаетъ аналогичное уравнен!е линейное относительно выражен!я производной & въ своихъ боле сложныхъ обозначеняхъ (см. уравнене (4) на стр. 70 указаннаго выше сочинения В. Г. Имшенецкаго). Приравнявъ также нулю оба члена, независящихъ оть Ё получаемъ два уравнен!я, равнозначныя Монжу.

Наконецъ, обЪ системы уравнен!й и Монжа и Ампера легко зам$няются эквивалентной Якоб1евской системой линейныхъ уравнен!й съ частными производными перваго порядка, являющейся плодомъ познфйшихъ работъ Якоби, Майера и ихъ послфдователей.

Поэтому дальнЪйшая задача зависитъ отъ свойств" послЪднихъ уравненй и методовъ ихъ интегрирован!я.

Въ дополнен!е къ сказанному, интересно отм$тить работу Дарбу опубликованную имъ въ 1870 году, о новомъ способ интегрирован!я уравнен/й съ частными производными второго порядка 3). ПримБняя къ уравненю Монжа— Ампера преобразован!е Ампера, Дарбу получаетъ систему уравнен!й

90 (9\ _ 1 9р _ 9 (9 1—0 р ду () 8 ду ^^" ду (,) |)

т. е. даетъ интегралъ: р? Е Хх › тдЪ Х обозначаетъ производную произвольной функщи Х независимой перемЪнной х. Обшй интегралъь послфдняго уравнен!я съ частными производными перваго опрдфляетъ искомыя поверхности совокупностью двухъ уравненйй: оХ те РУ +) =0, у -- 1

тдЪ ] вторая произвольная функшя перемфннаго параметра «..

8, См. ТБбог:е 4ез Зиг{асез, Т. ПУ. Моцуеаи Тиаве. Рашз 1925 Мо Х, р. 497.

9 1

& = у Е 1Х- ау Л),