Prosvetni glasnik
228 0 ИЗВЛАЧЕН.У КВАДРАТНОГ И ЕУБНОГ ЕОРЕНА
О ИЗВ^ЛАЧЕЊУ ^ВАДРАТНОГ И ^УБНОГ КОРЕНА (СВРШЕТАК) II. ЈЈ звиачене кубног корена
Видели смо, како је лало потпупих кппдрата у пеком кругу бројева; но још мање има потпуних кубова у истом кругу бројева. Из ирећашњих радова знамо , да је п. пр. I 3 = 1 ; 2' = 8; З 3 = 27 ; Г — 64 итд. Према томе, само су бројеви 1, 8, 27, 64, 125,216 итд. потпуни кубови, а остали бројеви , као: 2, 3, 4, 5, 6, или: 9, 10, 11 итд. или : 28, 29, 30 итд., не могу бити потпуни кубови. И тако ако два броја, који једаи за другим долазе, обележимо с а и с а -\-1, онда ћемо имати , ако подигнемо на треКи степеп једап и други број, ово :
а 3 = а 3
бити већи од 4, почем је |/64 = 4. Опо што је више од 4, обележимо с ш | п , и имаћемо : 3 Ш ]/66 = 4:-]- п Према томе биће : 66 =( 4 +^)' = 04+3.4= = + 3.4. ^
или: 66 = 64-1- _ј_ _|_ п п 2 Ако се и једна и друга етрана умањи за 64, биће:
12„
66 —04=64—64+ 2 48т
48 п
+
+ 1 2т*
12„
+ П з :
+ ^
(а + 1) 3 = а 3 + За 2 + За + 1. Број а маљи је од а -ј- 1 за 1 јединицу; а ј кад се погледа на разлику измећу а 3 и (а 3 -)-За 2 -ј-^а-|-/), онда ;је јасно, да сви оии бројеви, којп су измећу а 3 и (а 3 -)-За 3 -|- За -|- 1), не могу бити потпуни кубови. Почем је (а-Ј-1) 3 = а 8 —(-За 2 -ЈЗа -ј- 1, то кад се од једнс и од друге стране одузме по а 3 , биће: (а-ј-1) 3 - а 3 = За 2 + За + 1. Или, ако место а узмемо који особепи број, ми ћемо имати н. пр. З 3 = 27 (3+1) 3 = 4 3 = 64. Као гато се види , разлика је између 3 и 4 само у 1 јединици; но разлика кубова од тих бројева износи много више , т. ј. 64 — 27 = 37 или: За 3 +За+1=З.З в +3.3 + 1 =27 + 9 + 1=37. Према томе јасно је , да сви опи бројеви , који су изиеђу (а + ^) 3 и а 3 , имају такве корене, који су ман.и од (а+^), а већи од а. Кад се узме ствар са стране аритметичне, онда се не може никако тврдити, да постоје кубни коренп, којп се налазе измећу два броја којп иду 3 један за другим. Узмимо н, нр. |/66. Корен мора
Кад се и једна и друга страна помножи с п, биће: 2п=48ш + + 5 Кад се одузме по 48т и од једпе и од друге стране, имаћемо: 1 2 т 2
2п —48т=
+ *
Ако се даље опет с п помножи и једна и друга страиа, имаћемо:
Ј 2п — 48тЈ п = 12т 2 + 1
Ако се пајпосле и једпа и друга страна умањи за 12 т 2, оида ћемо имати :
^ 2п—48т | п — 12пг
Број, који је представљен на левој страни јет 3 дначине, мора бити цео број, а 1Г, као што се види, разломак је. Почем је п веће од т, то се п не може никако налазити у т или у т 3 нотпупо пеколико пута без остатка. Из тога излази да је ова једначина немогућна, и према томе ие може ни бити ни потпуног кубног корена из 66. Ако цео овај рад представимо онштим бројевима, имаћемо :