Prosvetni glasnik

1058

просветни гласннк

међу АЕ и паралелне АВ учинити произвољно малим, тако исто да се и угао 1} смааити, према томе углови а и р не могу имати другу величину до а — о и р = о 18 . Према томе или је у свима праволинијским троуглима сума њихова

три угла л и у исто

паралелни угао П(р)=

тс за сваку ли-

нију р, или је ова сума за све троугле < п на према томе и л ( р) < 4- п -

САР + ВАЕ

САР + АРС =

■(« + « Кад се друга једначина одузме од прве излази ВАГ — АКС = « + /3.

18 Доказ обрнутог става: ако је сума углова у троуглу равна п, то су две араве, које стоје на треАој уиравно, међусобом иаралелне, надази се код Лежандра (доказом тога става хтео је Лежандр доказати пети постудат Евкдндов). Тај је доказ ренроднциран код Лобачевског у »Ап&п{?в|;гш1(1е« § 101, 8. 173, где се надази нешто друкчији доказ и горљег става, и гласи овако. Нека су АВ и С1) ( фиг . 2') управне на нравој АС. Ако крајну тачку ове посл.едње А спојимо са једном тачком Е на СБ, биће збир оба оштра угда у тро-

углу АСЕ раван

осим тога је и <Ј САЕ + ЕАВ

лг, према томе ВАЕ =

фиг. 2'.

= АЕС. Пошто се нак на основу става21 може угао АЕС учинити мањим од сваког датог угда, то ће права АЕ сећи праву СВ увек па ма како мало бнло њено угаоно оступање. ГГрема томе АВ је (по другој Лобачевсковој дефиницлји паралелвих) паралелно са СБ. Да би се потпуно разумео смисао овог доказа, навешћемо овде пети иостудат Евклидов онако како га је Евклид формудисао (в. М. 81111011 »ЕикШ ипс1 (1Је бесћа р1аштеМ8с.ће11 Висћег«, стр. 30): Ако једна арава сече друге две араве тако да је збир унутрашњих углова, које она с њима склааа на истој страни, мањи од два ирава, онда ће се те две араве ародужепе у бесконачност сеИи на оној страни на којој су углови, чији је збир мањи од два ирава. Ако се пети ностулат претпостави као истинит, онда се из њега да извести следећи став: Из једне тачке ван једпе ираве да се аовуКи само једна иаралелна у односу на ову араву. Овај став (који се обично назива аксиом иаралелних), који се надази имплиците ивражен у нропозицији I, 31 Евклидових Елемената, или се да доказати на