Prosvetni glasnik
А п е н д и к с
67
Напомена. У овом параграфу, који преставља кључ неевклидске тригонометрије, изводи Бољај став, да је однос два гранична лука (У) раван котангенти половине угла паралелизма који одговара остојању једнаком раздаљини (у) та два лука. § 30. Лако се (према §-у 25) да увидети, да решење проблема равне Тригонометрије у систему 5 захтева изражавање периферије круга помоћу полупречника. А ово се може постићи ректификацијом - линије (фиг. 15). —> — >■ Нека су аћ, сгп и сш' управне на ас, и ђ макоја тачка полуправе аћ. Тада ће бити (§ 25): 5Ш и : 5Ш V = ОР : ОУ И б Ј п и ': 5 1 п у ' = ОР : ОУ'; зЈп и 51 п и» —... дакле: —— Оу = —— ОУ • 31П V 51П V' Али како је по (§-у 27) 51П V : 51п V' = соз и : соби', 44 ) то ће бити: ^Оу^ —ОУ' С0511 С05 и ИЛИ ОУ : ОУ' — * ап 2 и ' : * ап б и — * ап б ^ : * ап § ш Нека су даље сп ||| ађ, с' п' |јј ађ и сс1, с'с1' ^ — линије управне на ађ. Тада ће бити (§ 21) и ОУ : О у ' = г : г '. Д а кле биће г : г' = 1ап§ ш: 1:ап§ \у'. Нека сада расте р почињући од а до у бесконачност; тада ће \у == г и \у' — г\ са чега ће бити г : г' = *ап§ г : 1ап§ г'. 45 ) Означимо константни однос г : *ап§ г (који је независан од г) са ј. Ако је у = о, биће: у= 1,«) и према томе ^ 2 = Ј. 47 )
следује да је (по §-у 25) Оћс : Ос<1 = 1 : 51П V, дакле и (пошто је а§ = ас) Оа§ : Ос<3 = = 1 : 51П V и (по §-у 18) а§ : с§ = 1 : 51П V. Како је 1 раздаљина граничних линија № (прим. 40) и 1е и како углу V у фиг. 1' одговара угао {и у фиг. 14, то ће (на основу последње формуле) бити 2 = М': : 1е = 1 : зт 2 ш **) На основу извођења у претходној примедби лако је увидети, да ће за граничне линије ск и (111, чија је раздаљина V, бити У = 1:5Јп (К — и ^ = 1 ; С05 1 и. в ) Из фиг. 12 у §-у 27 следовало је, да је с<1:ађ=5ш и: 5Јп v = соп5{. Како и (и ш) у фиг. 15 одговарију углу К — и у фиг. 12, то ће овде очевидно бити соз и : зт V = со5 и': 5Јп V или соз и : со5 и' = 5т V: 51п V. 45 ) Кад р постане бесконачно очевидно да ће (упор. прим. 33) и прећи у угао паралелизма (за остојање у) и » у 2 (одн. да' у V). 16 ) Пошто је у половина тетиве лука граничне линије сс1, то ће тетива и лук бивати све ближи по дужини што су краћи, тако да ће при прелазу ка граници пасти уједно. Стога ће за у = о бити Пт у (= Кт 1 __ «) Како је 1>т = 1 то је Иш = 4 и Кт = 1. ' ■ V ' у 1 4ап§ Д*