Prosvetni glasnik

Апендикс

Познато је пак да је гранична вредност овог израза (за у = о) 1оепаГЈ према ТОМе је 1оепа± ј = ' и Ј = е = 2, 7182818...., познати број којисе и овде на тако необичан начин појављује. Ако дакле од сада ) буде значило ону праву за коју је Ј = е, биће г = 1 1ап§ г. Како је пак (§ 21) Оу = 2лг, тоће бити: ОУ = 2л11ап§2 = л]' (У — У~') = лј — 0 .—ј)= = Ј^ЖУ( У - У -') п°§-У24.») Иапомена 1. У овоме параграфу доказује Бољај најпре став, да је однос између полупречника (г) круга на граничној површини, чијем гранично-линијском пречнику (2г) одговара извесна тетива (2у), и тангенте угла (г), који је комплеменат угла паралелизма за половину те тетиве (за у), једна константна количина независна од величине полупречника г (ту константну количину он означава са 1, тако да је ј = *ап§ т). Затим Бољај доказује став, да је однос (Ј) два гранична лука, чија је раздаљина 1, = е, т. ј. бази Неперових логаритама. И напослетку изводи формулу за величину периферије круга ОУ = ™ (е у — е — у)-

2 у Ју 51 ) Како израз - 2јГ за у = о постаје=—, то се његова гранична вредност , Ј 1 — 1 одређује диференцијалним рач} т ном на следећи начин. Применом формула Нт =

ср(х) у 1ј™ ^ иу 1 х х. , - , 2у Јт = 1пп \ 7 , —— = и — \- V -з— и с!а = а 1п а с!х биће : нт —_— = Ф»(х) с!х <1х с!х Т ?у Ј 1-1 , р 2у ЈТ.ЧЈГ-1)1 .. [Л Јт1пЈ(1у у .^у Јт»пЈД^ 1 = 1 1т [_—— " ау Ј=1 ,т [\ 2 У • ^ + ЈГ чуЈ 1У 2у л . 1г и+ ,1 .2 , = Нт — 2 ' 1 П Ј 2 Како ова) ' после Д њи из Р аз за У = 0 ПОСТа ! е = "ЕЈ. и како Ј 1 ' 1 2у Ј-гје с друге стране Пт . 1 = ј, то је г —. =), и према томе' 1пЈ = 1, дакле Ј = е. 2у 1п Ј Ј ј —1

52 ) Како је (прим. 48) *ап§ 2 = со1§ и:

со*ј?|

2 со1? у ^ со!2 ^ (V — V —то је 2 гг 1 1:ап2 г = х 1 (У — У ~ ')• Како је (по §-у 24) У = ј | = е |, то је * 1 (У — У - •) = «1 у _ ^ И напослетку, како из У = Ј = е у следује да је 1п У = у и 1 = то је С-У _ 1Л = ^У (У-У-1). ј'\е 1 — е \) 1п У ;