Zapiski Russkago naučnago instituta vъ Bѣlgradѣ

26

ГДЬ.

Посл$днее уравнене, должно имБть п различныхъ интеграловъ. Поэтому, достаточное услове для существован!я изсл$дуемаго промежуточнаго интеграла, заключается только въ томъ, чтобы уравнене (62) допускало интегралы, независяшие отъ перемфнныхъ

Р1, Рэ, ...- Ро ) р (63)

когорыя вообще могутъ входить въ коэффишенты разсматриваемаго линейнаго уравнения (43).

Наконецъ, выведенное уравнен!е (62) обладаеть еще однимъ зам$чательнымъ свойствомъ.

Первая его часть совпадаетъ съ п-1 первыми членами послЪдняго уравненля (60).

Такимъ образомъ, для разыскан!я разсматриваемаго промежуточнаго интеграла, мы имфемъ право ограничиться интегрирован!емъ только системы совмфстныхъ уравнений (60).

Всяюй разъ, когда послЪдняя имЪетъ п различныхъ интеграловъ, изъ которыхъ п—1 интеграловъ не заключаютъ перем$нныхъ (63), эти интегралы образуютъ одинъ искомый промежуточный интегралъ.

Въ наиболЪе благопр!ятномъ случаЪ, система уравнен!й (60) можетъ им$ть п- |! различныхъ интеграловъ. Если два изъ нихъ заключаютъ перем$нныя (63), а остальные п—1 интеграловъ не содержатъ этихъ перем$нныхъ, то интегрируемое уравнен!е (43) имЪетъ два промежуточныхъ интеграла.

Отм$тимъ 0с0бо одинъ частный случай, когда коэффищенть: Аз интегрируемаго уравнения (43) не заключаютъ перем$нныхъ (63). Въ этомъ случа уравнене (62), всегда им$етъь л—1 требуемыхъ различныхъ интеграловъ, такъ какъ услов!е совмЪстности уравнений (60) вводитъ дополнительное равенство:

ду __ 0 02 -`

СлЪдовательно, если каждая система совмЪстныхъ уравненй имЪетъ одинъ интегралъ, съ перем$нными (63), то уравнен!е (43) имБетъ два промежуточныхъ интеграла.

ОбЪ системы линейныхъ уравненйй (60) обладаютъ зам5чательными свойствами, представляющими обобщен!е извЪстныхъ свойствъ, соотв5тствующихъ уравнен!ямъ второго порядка одной неизв5стной функщи двухъ независимыхъ перем$нныхъ величинъ.