Prosvetni glasnik

1052

ЦРОСВКТНП ГЛА1ШИК

између паралелних; напротив оне спадају у линије АСг које се не секу, ако се налазе на другој страни паралелних АН и АК у отвору угдова ЕАН = п — II (р), Е'АК = — П (р) између паралелних и управне ЕЕ' на АБ. На другој страни управне ЕЕ' биће на сличан начин продужења АН 1 и АК' такође иаралелна са ВС; остале линије спадају у углу К'АН' у линије које се секу, а у угловима К'АЕ, Н'АЕ' у линије које се не секу 9 . Према томе при претпоставци П (р) = -|- п линије могу бпти само или линије које се секу или паралелне; ако се пак претиостави да је П{\>) <С 71 онда се морају допустити две наралелне, једна на. једиој друга на другој страни; осим тога морају се остале линије разликовати у линије које се не секу и у линије које се секу. У обема "претпоставкама ознака паралелизма је у томе, што линија при најмањем одступању на оној страни, на којој се налази паралелна, постаје линијом 9 Став, да се две праве линије уиравне на трећој не секу, независаи је од Евклидовог У-ог постулата. Кад се пође од тог става и негације овог иостулата, онда с логичком нужношћу следује горња иретпоставка Лобачевског о линијама које се секу и не секу. У ставу 24-ом (види у тексту даље ниже) доказује Лобачевски, да се иаралелне линије све иише приближују једна другој на страни н.иховог паралелизма што се више на тој старни цродужују, а из става 33 лакључује, да се оне секу у бесконачности одн. да су асимтотичне. Ставу о конвергенцији паралелних линија одговара став о дивергенцији линија које се не секу, који гласи: Две ираве линије, које ее не секу и које нису иаралелне, имају једну зеједничку уиравну од које аочев све се више удаљују једна од друге што се више ародужују. Овај став налазп се доказан код Добачевског у »Хеие Ап&п^з&гшкЈе" § 108, а доказао га је много раније претходник Лобачевског Сахери у своме делу »ЕпсШев аћ отт пае\ г о утсНсаШз« 1733 (превод овог дела изашао је у Рг. Еп^е1 и Р. 81аске1, Ј,Б1е Тћеопе (1ег Рага11е1Ншеи уоп ЕпкИс! 1 )13 аиЈГ баивз. Ете ТТгкипЛепваттћт^ гиг Уог^езсћ1сћ^е с1ег пхсМеикИсНзсћеп б-еошекпе 8 . Тејр/Л^ 1895). Осим овог налази се код Сахериа. доказан и следећи иажан став (н. н. м. стр. 104 Тећгза^г XXX): Права ^инија, која аолази из једне тачке ван једне араве и стоји уиравно на уаравној ове ираве, унутрашња је грапица на једиој страни иара.лелизма свих иравих линија, које се не секу и нису иаралелне а које са датом аравом имају једну заједничку уиравну на истој страни иаралелизма. Тако у оиг. 1 права линија ЕЕ' која је Ј__ А1) унутрашња је граница на десно.ј страни паралелизма за све правс АО, које на тој страни не секу АВ и нису с њом паралелне а имају заједпичку управну са њом на десној страни наралелизма. Тако исто та је упраипа унутрашња граница сличпих правих линија на левој стрпни паралелизма. Ако наведепа два става о линијама које се не секу и нису паралелне доведемо у везу са горњим ставом Лобачевског и поменутим допунским ставом 24-им онда можемо све нраве линије, које у фиг . 1 полазе из тачке А ван праве ВС, ио • дедити у следеће четири групе: 1. Линнје које праву ВС секу у краЈнем остојању од тачке I") (подножне тачке управие АО), као што су линије АЕ.