Prosvetni glasnik

настава и култура

1067

Одавде сдедује, да су допуштене само две претпоставке: или је сума три угла у свима праволинијским троугдима равна л, иди је ова сума у свима мања од тг 15 . 21. Из једне дате тачке може се увек аову/ш једна арава линија тако, да она са датом иравом заклааа неодређено мали угао. Нека се из дате тачке А ( фиг. 8) спусти управна. АВ на дату нраву ВС, нека се узме на ВС произвољно тачка В, повуче динија АО, начипи БЕ = АБ и повуче АЕ. Ако је у правоуглом троугду АВБ угао АБВ = а, онда мора у равнокраком троуглу АБЕ угао АЕБ бити иди раван иди мањи од -у- « (став 8. и 20.). Продужујући на тај начин доћиће се напосдетку до једног таквог угда АЕВ, који ФИГ . в. је мањи него ма који дати 16 . 22. Ако су две уаравне на истој правој линији међу собом иаралелне, онда је сума трију углова у ираволинијским троуглима равна тс. Нека су линије АВ н СБ ( фиг . 9) паралелне међу собом и управне на АС. Повудимо из А диније АЕ и АЕ према тачкама Е и Е, које су узете на линији СГ) у произвољним остојањима ЕС > ЕС од тачке С. Ако претпоставимо да је у правоугломе трбуглу АСЕ сума његова три угда равна л —- а, у троуглу х4ЕЕ равна л — р, онда ће она у троугду АСЕ морати бити равна л — а — р, где а II (I не могу бити негативни. Ако је дакле угао ВАЕ = а, АЕС 1),онда јеа-|-/? = а — I) 1 *; ако учинимо да се линија АЕ удаљава све више од управне АС, може се угао а из15 Први део горњег става (став 20) налази се доказан ирвп иут у Лежандровој расирави »КеОехшпз зиг <ИШгеп(;ез шашегез <1е (1етоп(;гег 1а Шеопе Зез рага1Шез ои 1е Љеогете виг 1а зотте (1ез (;го18 ап^1ез <1и (пап^е* у »Мемоарима париске академнје наука« уо 1. XII, р. 371. Лобачевски тврди (в. »Кеие Ап&и^8§пт(1е«, Ет1еК;ип§, 8. 69), да је дошао самостално до доказа пстога става у својој првој нештампаној расправи о принципима нове геометрије из год. 1826. У овоме доказу Лежандр спомиње и други део горњег става (ако је сума углова у једном троуглу мања од два права, онда то важи за све троуглове), алп он хоће да докаже да је претпоставка, по којој у троугду сума углова може бити мања од 2К, погрешна. На ту погрешност он закључује из тога, што би у случају важења те претпоставке дужипа линија била апсолутна, што је по Лежандру немогуће. Упор. В. Вопо1а, н. н. м., стр. 60. 16 Доказ и овог става налази се код Лежандра. При доказивању његовом, као и у доказивању става19 (в. примедбу 13), игра Архимедов постулат главну улогу. 17 Пошто је збир углова у троуглу АРС раван п — (« + /?), то је ВАР — АГС = = а -ј- /3. Из фиг . 9 види се на име да је: