Prosvetni glasnik
105«
М -осветпп гллснпк
фпг. 5.
А
р
р в
р
Т
1)
Нека је у праволинијском троугду АВС ( фиг . 5) сума његова три угла =лт> тада морају бар два његова угла А и С бити оттри. Спустимо ли из темеиа трећег угла В на супротну страну управну р, та ће упрадна раставити троугао АВС у два правоугла, у којима ће сума три угла морати такође износити тс, да не би у једноме од њих била већа од 7г а у сложеноме мања од 7г 14 . На тај начин добија се један иравоугли троугао, чије су катете р и I), а одатле један четвороугао, чије су супротне стране једнаке а стране р и д, које су једна поред друге, управне ( фиг. 6). Понављањем овога четвороугла може се сасгавити сличан четвороугао са странама пр п д, и напослетку четвороугао АВСБ са странама, које су управне .једна на другој, тако да је АВ = пр, АБ = тц, БС = пр, ВС = шд, где су т и п произвољни цели бројеви. Такав четвороугао подељен је дијагоналом ВБ у два конгруентна правоугла троугла ВАБ и ВСБ, у којима је сума њихова три угла = = 7г. Бројеви н и ш могу се узети тако велики, да правоугли троугао АВС ( фиг. 7), чије су катете АВ = пр, ВС = пп}, садржи у себи један други дати троугао ВБЕ, чим се прави углови поклопе. Ако се повучс линија БС, добиће се уз то правоугли троугли, од којих све по два гато следују један за другим имају једну зајсдничку сграну. Троугао АВС постаје спајањем троуглова АСБ и БСВ, у којима сума три угла не може бити већа од јх ; она према томе мора бити равна л, да би ова сума могла у сложеноме троуглу износити л. На исти начин састоји се троугао ВБС из троуглова БЕС и БВЕ, нрема томе мора у ВВЕ сума његова три угла износити л, и то мора у опште бити случај у сваком троуглу, пошто се сваки да раставити у два правоугла троугла.
фиг. 6.
и Простији је доказ овај: ако би нретпоставили, да суме углова у дедимичним троугдима нису п, онда би та сума у једноме од њих морада бити мања а у другоме већа од п, да би у дедоме троугду бнла тг. По претходном ставу пак сума угдова у троугду не може бити већа од ж; према томе она мора бпти и у сваком од делимичних троугдова равна п (од збира њихових угдова треба одузети два нрава код подножне тачке управне, да би се добио збир угдова дедог троугда).