Prosvetni glasnik

настава и култура

1059

Прва претпоставка сдужи за поддогу обичне геометрије и равне тригонометрије. Друга се претпоставка може такође допустити а да се не дође у резултатима ни до каквих противречности, и чини основ једне нове геометријске доктрине, коју сам назвао „ имагинарном геометријом", и коју намеравам овде да шложим до извођења једначина, које постоје између страна и углова код праволинијских и СФерних троуглова. 23. За сваки дати угао а може се на%и једна линија р, тако Да је П (р) = а. Нека су АВ и АС ( фиг . 10) две праве линије, које у тачди пресека А склапају оштар угао «; узимамо на АВ произвољно тачку В', из ове спустимо управну В'А' на АС, начинимо А'А" = АА', подигнимо у А" управну А"В" и продужимо тако док не дођемо до једне управне СБ, која севише не сече са АВ. Ово мора нужним начиномједпом бити, јер ако је у троуглу АА'В' еума сва три угла равна л — а, онда ће она у троуглу АВ'А" бити равна тс — 2 а, у троуглу АА"В" мања од тс — 2 а (20 став), и тако даље, док на послетку не постане негативном и тиме не нокаже немогућност образовааа троугла 19 . Управна СБ може бити идентична са управном, од које почев све линије ближе тачци А секу АВ; у сваком случају мора егзистирати једна таква

фиг: 10.

основу пропозидије I, '29, у којој се пети постудат претпоставља као истинит, шш ће се претпоставити као доказан став, да је збир угдова у троугду раван 2Е, па ће се одатле на горе показани начин извести истинитост петог постудата Евжлидовог, из кога затим, на основу друге Лобатсвскове дефиниције парадедних, следује непосредно »аксиом* паралелних.

19 Како је Д АА'В' Зе А'А"В' (став 10-и), то ће, ако је збир угдова у троуглу АА'В' раван п — а, тај збир у троуглу АВ'А" бити к — 2а, у троугду АА"В" мањи од тс — 2а, у једном даљем троугду два иут већем од АА"В" (као што је троугао АА"В' два пута већи од Д АА'В') тај би збир био мааи од п ■— 4а, тако да бисмо на послетку морали доћи до једиог троугда у коме би збир угдова био мади од тс — 2 п а, где је 2"а> = л, што знато немогућност таквог троугда, односно немогућност да се одговарајућа управнаАС сече са правомАВ. Упор. »Ј^еие Ап1ап^8{ЈгишЈе" § 102, 8. 174.