Zapiski Russkago naučnago instituta vъ Bѣlgradѣ

24

При этомъ уравнение (51) преобразовывается слфдующимъ образомъ. Умножаемъ обЪ части его на и.

Подставляя, затЪмъ, въ полученное равенство выражен1я (54) всБхъ производныхъ и. , преобразовываемь разсматриваемое уравнен!е къ линейному виду

ш _ (0) 78 У 2.21 иг — — Ин =0 ь (59) 1 Азп

причемъ порядокъ нижнихъ указателей при 2.0) показываетъ на изм5нен!е порядка знаковъ, сравнительно съ формулой (55), для вш=й

КромБ того очевидно, что 2®) —1.

Возвращаясь къ первоначальному обозначен!ю функщи цз (вмЪсто и), напишемъ уравнения (54) и (59) въ нижеслЪдующемъ видЪ:

Е, др, = дрь | р 2% и ) (60) п (0 (0 Оша Е див У ар, о. Хы [бы Аз Анд = | гдЪ а =].

Полученныя уравнен!я (60) опредБляютъ двЪ различныхъ системы уравненй, которыя соотв тствуютъ верхнимъ и нижнимъ знакамъ, въ выраженяхъ коэффищентовъ ^.

Каждая система представляетъ совокупность п уравнеНЙ съ частными производными функщи и„, по Эи--1 независимымъ перем5ннымъ величинамъ

а - а, 2, ВР, Р2,... п.

Поэтому каждая изъ системъ можетъ имфть отъ п-+ 1 до одного интеграла, въ зависимости отъ различныхъ условй интегрируемости.

Наконецъ, если уравнения (60) оказываются несовмЪстными, то изсл5дуемые промежуточные интегралы не существуютъ для даннаго линейнаго уравнения (43).

Однако условия совмфстности уравненйй (60) являются только необходимыми для интегрируемости уравнения (43), ибо задача приводится теперь къ рёшеншюо вопроса о сущесвован!и и о разыскан!и остальныхъ функц и, №2... Ин, фигурирующихъ въ разсматриваемомъ промежуточномь интегралЪ (40).