Prosvetni glasnik

Апендикс

Ако наиме с1ср + с< ^4 не би било < 2 К, онда би оно (по §-у 1) морало бити = 2 К. Тада би пак (по §-у 13) морало бити и ђагп -|_|_ аћп = 2 К, а то противречи претпоставци. Напомена. У овом параграфу доказује Бољај став, да ако је збир унутрашних углова које заклапају две паралелне праве са трансверзалом < 2 К у једном случају да тај збир мора бити <2 К у свима случајевима. Друкчије речено, ако важи неевклидски постулат паралелних (т.ј. постулат двеју паралелних) у једном случају, он важи у свима случајевима (дотичне површине).

На основу посматрања изнетих у §§-има 13 и 14 систем геометрије заснован на претпоставци истинитости Х1-е Евклидове аксиоме азначић#мо са 2, а са 5 означићемо систем заснован на супротној хипотези. Сви они ставови, за које није изречно речено да важе било у састему 2 или у систему 5, важе апсолутно, т.ј. за њих се тврди да су истинити па било да важи систем 2 било систем 5. Напомена. Да има ставова који су независни од постулата паралелних, то је увидео још Евклид у својим славним „Елементима". У првој књизи свога дела Евклид чини употребу од петог постулата (одн. 11-е аксиоме) тек у 29-ом ставу, док првих 28 ставова доказује независно од овог постулата. Тиме што поред Евклидовог уводи и неевклидски систем, Бољај наглашава изречно важност геометријских ставова који су независни од постулата једне или двеју паралелних. Стога он и у наслову Апендикса истиче као његов главни задатак излагање статова „који важе апсолутно".

Ако је ат оса од Ц у систему 2 биће ^ права [_ ат (фиг. 5). Јер нека је ћп у тачци ћ на (такође) оса од Ц тада ће у систему 2 бити ћат -ј- аћп — 2 ћат = 2 К, према томе биће ћат = К. 7 И ако је с макоја тачка праве аћ и ср ||| ат, биће (по §-у 13) ср =2= ат, и с ће се према томе налазити на ^ (§ 11). Али у систему 5 не постоје три тачке а, д, с ни у /. ни у Р које би лежале у правој линији. Јер једна од три осе ат, ћп, ср (напр. ат) мора лежати између друге две 8 , те ће (по §-у 14) како ћат тако и сат морати бити К. 7 Према дефиницији линије I* (упор. § 11 у вези са §-ом 8), свака тетива њена мора заклапати једнаке углове са осама у крајним тачкама тетиве. Према томе у Евклидовом систему мора, пошто је ћат = аћп а ћат + аћп = 2 К, ћат бити = К. 8 Осе се имају замислити у једној истој равни (као што и Бољај додаје у својој немачкој обради Апендикса — упор, н. н. м. 5. 191). Како су ћат и сат мањи од К, тетиве аћ и ас (одн. тачке а, ћ и с) неће лежати у правој л "

§ 15

§ 16