Prosvetni glasnik

Просветни Гласник

Према томе на овај начин круг у равни иолупречника 8 квадрират је геометријски помоћу праволинијске фигуре и униформних линија псше врсте (које су, упоређене међусобно, еквивалентне са правим линијама) ; тако исто је и круг на површини Р компла^ ниран на исти начин. 106 ) Или је дакле истинита Х1-а Евклидова аксима или је мо^ука. геометријска квадратура круга; иако остаје непознато која од ове две алтернативе одговара стварности. Кад је или цео број или рационалан разломак чији је именитељ (доведен на најпростији облик) или прост број облика 2 П Ч-1 (где спада и 2 = 2°+ 1) или производ из произвољно много простих бројева ове врсте, од којих се (са изузетком броја 2, који се једини може јавити произвољно много пута) сваки јавља само једанпут као фактор,. тада је могуће, на основу теорије полигона славног Гауса (овог највеличанственијег проналаска нашег и свих времена), конструисати једну праволинијску фигуру (и то само за речене вредности од г) која ће бити равна 1§ 2 г • П^Об. 107 ) Јер подела Ц-а захтева (пошто се теорема §-а 42 да лако проширити на макакве полигоне) очевидно поделу угла 2К, коју је (што се може показати) могуће геометријски извести само под реченим условом. У свима таквим случајевима оно што је напред речено лако доводи до циља. И свака праволинијска фигура да се геометријски претворити у правилни полигон од п страна, ако а има Гаусов облик. 108 ) 106 ) Т. ј. нађена је у неевклидској равни праволинијска фигура чија је површин& једнача са површином круга у грацичној површини. 107 ) Као што је познато, по Гаусовој теорији полигона правилни полигон од п страна да се конструисати шестаром и лењиром само ако се биномна једначина х» = I (која преставља поделу кружне периферије на п једнаких делова) да решити сукцесивним извлачењем квадратних корена. Ако је п прост број, то је могуће учинити само у оним случајевима када је п прост број облика 2 Ш + 1 (при чему је ш са своје стране потенција од 2, т. ј. = 2 р ). Кад је пак п сложен број, тај сложен број мора бит« = 2° • 3 • 5 • 17 где су 3, 5, 17 ит.д. прости бројеви облика 2™ -)- 1. На таЈ начи» могућа је само конструкција правилних полигона од 3, 5, 17, 257 ит.д. страна, као и конструкција правилних полигона од 2" и 2" • 3, 2" • 3 ■ 5, 2" • 3 • 5 • 17 итд. страиа, У случајевима у којима је могућа конструкција правилног полигона од л страна могуће је у неевклидској равни конструисати круг једнаке површине са једним ^ . ш полигономсамо онда кадаЈе 12 2 или И ео брОЈ или рационалан разломак — (т. ј. раз ломак у коме сушил релативно прости цели бројеви). НајпростиЈ'и )"е случај када ■X је *§ 2 2 = 1, т. ј. када је г = (упор. напомену 2 уз § 30 и фиг. 2'): у овом случају праволинијска фигура, коЈ 'а има једнаку површину са кругом аР, или ј 'е асимтотични троугао максималне површине (у фиг. 3') или квадрат (у фиг. 23). Ако Ј'е . ј

с

Ак

а >

Фиг. 23