Zapiski Russkago naučnago instituta vъ Bѣlgradѣ

17

Изъ этого уравненя ПагБоцх заключаетъ, что геометрическое мБсто особенныхъ точекъ удовлетворяетъ уравненямъ, которыя служать для опредЪленя огибающихъ. ДЪйствительно, для особенныхъ (кратныхъ) точекъь АЕ — р а потому написанное выше соотношене сведется къ уравнению ОР=0, и геометрическое мфсто особенныхъ точекъ будетъ удовлетворять систем уравнен!й:

Е=0 А а “)

Обратно, если уравненя (А) удовлетворены, то изъ приведеннаго выше соотношения сл$дуеть АЕ =0, т. е. угловой коэффишенть касательной къ огибающей опредфляется изъ того же уравнен1я, которымъ опредфляется угловой коэффищентъ касательной къ отдЬльной кривой семейства. Однако, въ случаБ особенной точки, это разсужден!е неприм$нимо, ибо въ этомъ случа6 а” =0 не есть уравненте для опредБления углового коэффищента, но простое тож дество. Наша цфль — найти такое соотношен!е, связывающее дифференщалы 4 и 9, которое, посл обращен!я въ нуль одной его части, не приводило бы къ тождеству, а давало бы уравнен!е для опредЪлен!я соотв$тственныхъ угловыхъ коэффищентовъ. 3. Предположимъ, что мы имЪъемъ геометрическое м$сто двойныхъ точекъ, т. е. что ЧЁ тождественно обращается въ нуль. Какъ извфстно, угловые коэффищенты касательныхъ въ двойной точкЪ опредБляются изъ уравнен1я; ФЕ=О (1)

Если АР=0, то, какъ мы видБли, удовлетворяются уравнен1я состемы (4). Дифференцируемъ первое уравнене А=0 два раза и второе — 57 =0 одинъ разъ. Мы получимъ:

ФЕ--2а5Е-- 922 = 0 1 (В) ФЕ Е =о |

Исключая изъ этихъ уравненй а0Е, получимъ ‘соотношен!е искомаго типа: @Е — 07 =0. (2)

Этому соотношеню долженъ удовлетворять угловой коэффишенть касательной къ геометрическому мБсту. По-

Зап. Русс. Научи. Шист., вый. 4. - Я