Zapiski Russkago naučnago instituta vъ Bѣlgradѣ, 01. 05. 1931., S. 31

17

Изъ этого уравненя ПагБоцх заключаетъ, что геометрическое мБсто особенныхъ точекъ удовлетворяетъ уравненямъ, которыя служать для опредЪленя огибающихъ. ДЪйствительно, для особенныхъ (кратныхъ) точекъь АЕ — р а потому написанное выше соотношене сведется къ уравнению ОР=0, и геометрическое мфсто особенныхъ точекъ будетъ удовлетворять систем уравнен!й:

Е=0 А а “)

Обратно, если уравненя (А) удовлетворены, то изъ приведеннаго выше соотношения сл$дуеть АЕ =0, т. е. угловой коэффишенть касательной къ огибающей опредфляется изъ того же уравнен1я, которымъ опредфляется угловой коэффищентъ касательной къ отдЬльной кривой семейства. Однако, въ случаБ особенной точки, это разсужден!е неприм$нимо, ибо въ этомъ случа6 а” =0 не есть уравненте для опредБления углового коэффищента, но простое тож дество. Наша цфль — найти такое соотношен!е, связывающее дифференщалы 4 и 9, которое, посл обращен!я въ нуль одной его части, не приводило бы къ тождеству, а давало бы уравнен!е для опредЪлен!я соотв$тственныхъ угловыхъ коэффищентовъ. 3. Предположимъ, что мы имЪъемъ геометрическое м$сто двойныхъ точекъ, т. е. что ЧЁ тождественно обращается въ нуль. Какъ извфстно, угловые коэффищенты касательныхъ въ двойной точкЪ опредБляются изъ уравнен1я; ФЕ=О (1)

Если АР=0, то, какъ мы видБли, удовлетворяются уравнен1я состемы (4). Дифференцируемъ первое уравнене А=0 два раза и второе — 57 =0 одинъ разъ. Мы получимъ:

ФЕ--2а5Е-- 922 = 0 1 (В) ФЕ Е =о |

Исключая изъ этихъ уравненй а0Е, получимъ ‘соотношен!е искомаго типа: @Е — 07 =0. (2)

Этому соотношеню долженъ удовлетворять угловой коэффишенть касательной къ геометрическому мБсту. По-

Зап. Русс. Научи. Шист., вый. 4. - Я