Zapiski Russkago naučnago instituta vъ Bѣlgradѣ

18

этому, если 6?Р =0, то уравнен!я (1) и (2) имбютъ общий корень; обратно, если уравненя имБють обний корень, то 02“ = 0.

Отсюда мы видимЪъ, что необходимымъ и достаточнымъ условемъ для того, чтобы геометрическое мЪсто двойныхъ точекъ было огибающей, является требование:

52 = 0.

ВмЪстЪ съ т6мъ, имЪемъ слБдующую теорему: Теорема [. Пусть имЪемъ уравненте

ао

Если для нфкоторыхъ значен!й перемЪнныхъ аЕ = 0, то существуетъ соотношенте: @ 7 — 07 =0.

4. Теорема эта наводитъ на мысль о возможности распространен!я ее на случай п-кратнаго дифференцирован1я и на существован!е, при извЪстныхъ услов1яхъ, соотношен1я а?Е`— (—1) 161 Е=0 *). Соотвфтствующая теорема будетъ слБдующая:

*) Эта формула, справедливость которой доказана ниже, кажется на первый взглядъ включаеть въ себя и случай для п = 1. Однако, это совпаден!е чисто случайное.

Формула

@2Е — 527 =0 (1) также, при н$зкоторомъ невнимательномъ отношенн, можеть быть получена безъ добавочнаго услов!я АЕ = 0.

Дъиствительно, изъ услов!я

ЦЕ ОР = 0

АЕ = —5Е, а потому, казалось бы, взявъ 5 обЗихъ частей: АЕ == 45К = —02. Вставляя это значен!е въ 42Е -+ 245Е -Р528 == 0, (1) приведемъ къ равенству (1). Это разсуждеше ошибочно, ибо изъ равенства АЕ РЭВ = 0

получимъ:

слфдуетъ а (ар -- 5Е) Е 5(аЕ -- эВ) = а (аЕ -- эЕ) -- 32 28 = 0, а потому

45Е = — 526 — а (АЕ -- 8Ё), что является т5мъ же равенствомъ (1), написаннымь только въ другой форм.