Zapiski Russkago naučnago instituta vъ Bѣlgradѣ

Ц = Ц= ой ит. д === др } 9— ... . .

Очевидно изъ разсмотрЬн1я уравнений (5), что результать исключен!я изъ нихъ произвольной функщи ]' (У) представляется въ видЪ линейнаго уравнен!я относительно велиЧИНЪ Г, $, Ёи 7Ё— 5%.

Такимъ образомъ становится доказаннымъ, что промежуточные интегралы вида (4) допускаются только уравненями Монжа-Ампера (3). Это услове необходимое, но не достаточное.

6. Въ силу выведеннаго заключен!я, должны имЪть мЪсто слЪдуюция равенства:

|

А». 2Вх, с», | (6)

и / ШУу — Ну\1

|

ЕЖУ - му + ии — уу,

а у’х — то У

||

9 Ил У не Я ит

| в

= у. + ШУ, == Ол, |

гдЪ ^ обозначаетъь коэффищентъ пропорц1ональности.

ИзслЪдован!е Буля уравнений (6) упрощается слЪдующимъ образомъ.

Полученныя уравнен1я симметричны относительно производныхъ обфихь функшЙ и ит и обладаютъ замЪчательнНыЫмМЪ свойствомъ.

Они даютъ по два уравнения для опредЪления каждой изъ этихъ функций, не заключающихъ другой функщи. КромЪ того они имфютъ одинъ и тотъ же видъ по отношен!ю каждой изъ функщй и и у. Пятое же уравненге (6) служитъ для опредфления множителя пропорц!ональности ^.

Чтобы убЪдиться въ этомъ, опредфлимъ, изъ третьяго и четвертаго уравнений (6) выражен1я Ухиу’.

Исключен!е послЪднихъ значений изъ первыхъ двухъ уравнений (6), въ силу послЬдней формулы (6), даетъ слЗдуюш!я уравнен!я, для опредЪлен!я функши и:

Аи’: и» + Сшуц, — Эй’ и, — Еш; и =0 | ОВ, О и О В 0 |

(7)

РазрЪшая эти уравнен1я относительно Шх и Ш, (начиная съ подстановки значен!я и’, изъ перваго уравнения (7) во второе), получаемъ искомую систему двухъ уравненй

ри’, — Си + (ВС) и, = 0, И: (В=\ ) м (8)

Ри, + (ВЕ\УС)и, — Аи, =0,