Zapiski Russkago naučnago instituta vъ Bѣlgradѣ

8 тдЪ введено обозначенте @= В + ДЕ — АС.

Той же системЪ уравнений (8) удовлетворяетъ и функщя у. Въ этомъ легко убъдиться, исключивъ изъ первыхъ двухъ уравнений (6) значен!я их и и’, опредБляемыя слъдующими двумя уравнен1ями (6).

Такимъ образомъ функщи и и У являются различными рьшенями одной и той же системы линейныхъ уравнен!й съ частными производными перваго порядка.

СлБдовательно, сколько различныхъ паръ рЬшенй допускаеть послфдняя система, столько различныхъ промежуточныхъ интеграловъ имЪеть разсматриваемое уравнеше (3). Число ихъ однако не превышаетъ двухъ.

Въ самомъ дЬлЪ, полученныя формулы (8) заключаютъ двЪ различныхъ системы уравнен!й, соотвётствующихъ одновременно верхнимъ или нижнимъ двойнымъ знакамъ. Каждая изъ этихъ системъ можетъ имБть по три, по два или по одному различному р шен1ю. Но въ первомъ случаЪ, какъ хорошо изв$стно, обЪ системы совпадаютъ, такъ какъ тогда иметь м5сто услове С =0. Поэтому уравнеше (3) и не можетъ имБть болЪе двухъ различныхъ промежуточныхъ интеграловъ.

Услов!я совмЪстности уравнен!йЙ каждой изъ системъ (8) представляютъ достаточныя услов!я для ея интегрируемости, а стало быть и для существован!я промежуточнаго интеграла изучаемаго вида (4).

Полученныя уравнен!я съ частными производными перваго порядка (8) одной неизвЪстной функщи эквивалентны указаннымъ выше уравненямъ Монжа въ полныхъ ое ренщалахъ.

Системы уравненйй (8) имБютъ Якобевск! видъ и 06ладаютъ рядомъ замЪфчательныхъ свойствъ. Благодаря этому Монжъ - Амперовская задача интегрирован!я представляетъ интересное приложен!е теор!и линейныхъ уравнен! съ частными производными перваго порядка.

Мы не станемъ останавливаться на этомъ вопросЪ, отсылая къ упомянутымъ выше трактатамъ В. Г. Имшенецкаго и А. К. Рогзуйтга.-

1 Интересно далЪе отм$тить, что изучене ИСХОДНОЙ системы: уравнен!й (7) освобождаетъ отъ введен!я теоремъ Оташ4огое”а 12), которыми онъ дополниль теор МонжаАмпера. `

Въ самомъ дЪлЪ, достаточно принимать въ расчетъ видъ

12) ]оцгпа! 4е Мабтанацез ригез её аррНацбез, 1872. стр 426.