Prosvetni glasnik

158

другог члана и квадрат другог члана. Прва класа (с лева на десно бројећи) може бити састављена и из једне циФре, и то ће бити свакад, кад је степен двочланог броја од 3 циФре; иначе долазе по 2 циФре и на једну и на другу класу. И тако може се обележити : 21 2 = 4,41 ; 35 2 = 12,25; 96 2 = 92,16. Ово разликогање на две класе требаће нам, кад станемо из неког стеиена извлачити други корен. Нека се на овај начин нредставе ови задаци: 16-; 25 2 ; 35 2 ; 38 2 ; 41 2 ; 54 2 ; 67 2 ; 78 2 ; 83 2 ; 98 2 . Ј1ркмедба. 1, Интересантно је уиућивати учеиике, да размишљају о томе: зашто је тако велика разлика у степенима између бројева, који један за другим долазе, као н. пр. у горњем примеру између 31 2 и 32 2 . Другп степен од 32 износи 1024, а други степен од 31 износи 961. Разлика је дакле у 63 јединице. Откуд долази толика разлика ? 32 2 = 30 2 +2.30.2+2 2 = 9004 60.2+4 = 900+120+4 = 1024 31 2 = 30 2 +2.30.1+1 2 = 900+60.1+1 = 900+60+ 1 = 961. Као што се одавде види, никакве разлике у оба броја нема између квадрата њихових првих чланова (десетица). Исто тако и удвојен први члан подједнак је и у једном и у другом броју. Разлика наступа тек оданде, кад се тај удвојени први члан почне множити с другим чланом. И та разлика износи онда управо један пут онолико, колико износи удвојени први члан, јер се само за једну јединицу и разликују међу собом корени: 32 и 31. Најпосле разлика произлази и од квадрата другог члава, јер није све једно, да ли се н. пр. 1 или 2, 2 или 3 3 или 4, 4 или 5 и т. д. диже на квадрат. И тако можемо пронаћи свакад, колика ће бити разлика између два броја, који иду један за другим, као н. пр. између 66 2 и 65 2 . Почем квадрат другог члана (једивице) у првом броју износи 36, а у другом броју 25, то је разлика између њих 11. Осем тога ваља узети један пут удвојен први члан, т. ј. 60 и биће: 60X2x1 = 120. И тако разлика ће бити : 11+120 = 131. И доиста износи: 66* = 60 2 +2.60.6-(-б2 = 3600 + 120.6 + 36 = 3600 + 720+36 = 4356 65 2 = 60 2 +2.60.5 + 5 2 = 3600+1 20.5+2 5 = 3600+600 + 25 = 4225 ГзГ2. Ако се узму други бројеви, али опет из једне врсте десетица, но не један до другога, већ за неколико јединица размакнути један од другога, онда ће се морати показати и већа разлпка пзмеђу њихових степева. Ц. пр. 68 2 = 60 2 +2.60.8+8 2 = 3600+120.8+64 " 3600+960+64 = 4624 62 Ј = 60 2 +2.60.2+2 2 = 3600+120.2+ 4 = 3600+240+ 4 = 3844 780

И тако излази, да никакве разлике нема ни овде између квадрата првих чланова (десетица) и пзмеђу два пут увећаних истих чланова у оба броја (јер су то све једне и исге десетице), већ та разлика зависи једино од цифре, која стоји на месту јединица. Она чини, те н. пр. удвојени прии члан порасте у првом броју од 120 на 960, а у другом само на 240. 960 четири пута је веће од 240, исто онако, као шго је и 8 четири пута веће од 2. Разлика између 960 и 240 износи 720. Осем тога, разлика између 8 2 и 2 2 износи (64—4) 60 једигшца. Целокупна разлика износи дакле: 720+60 = 780. 3. Осем оваквих случајева ваља ирећи и чисте десетице у квадрату, Тако : 10 2 =100; 40- = 1600; 70 Ј =4900 20 2 =400 ; 50 2 =2500; 80 2 = 64 00 30 2 =900; 60- = 3600; 90* =8100. Као што се одавде види, други сгепени од изређаних десетица јако се међу собом разликују. Тако н. пр. између 10 2 и 20 2 разлика је у 300 јединица, а између 20 2 и 30 2 разлика је у 500 јединица и т. д. све по 200 јединица јача је но између претходних десетица, тако, да најпосле разлика између 80 2 и 90 2 износи 1700 јединица. Откуд долази толика разлика у степенима од тих десетица? 40 2 =40X40 = 1600 50 2 = (40+10) 2 = 40 2 +2.40.10 + 10 2 = 1600+800+100 = 2500 Из овога се види, како 50 2 растављепо у два члана: (40+10) мора дати поред оноликог истог квадрата од 40, још и удвојен први члан (2X40 = 80) помножен с другим (80X10 = 800), а осем тога још и квадрат другог члана: 10 2 =100. свега дакле 900 јединица више но квадрат претходне десетпце. 4. Ако се поред чистих десетица узму у обзир и друге групе бројева у размаку по 10 јединица један од другог, онда ћемо добити ове резултате: 11 2 = 121; 41 2 = 1681 ; 71 2 = 504 1 ) Разлика између два и I 21*= 441; 51 2 = 2601 ; 81 2 = 6561 ' ДВЗ б Р°* ВЗР0СИ: 320 ' 31 2 = 961; 61 2 = 3721 ; 91 2 = 8281 I

520 , 720, 920, 1 120, 1320, 1520 и 1720.

12 2 = 144 ; 42 ј = 1764 ; 72 2 = 5184 ј Разлика између два и два броја износи: 340, 540, 740 , 940, 1 140, 1340, 1540, 1740.

II 22 2 = 484 ; 52 2 = 2704 ; 82 2 = 6724 32 2 = 1024 ; 62 2 = 3844 ; 92 2 = 8464

.1 5 2 = 225 ; 45 2 = 2025 ; 75 2 = 5625 I Разлика између два и III 952 — В25 . 55 2 - 3025- 85 2 -7225 \ Два броја износи: 400, 111 25 - 625, 53 -ЈОЈ5, -III5 ^ (;00, 800, 1000 , 1200, 1400 , 1 600 , 1800.

35 2 = 1215 ; 65 2 = 4225; 95 2 = 9025

18 2 = 324 ; 48 2 = 2304 ; 78 2 = 6084 IV 28 2 = 784 ; 58 2 = 3364; 88 2 = 7744 38 2 = 1444 ; 68^ = 462 4 ; 98 2 = 9604

Разлика између два и, два броја износи; 460, 660, 860, 1060, 1260, 1460, 1660 и 1860.

Из ово неколико нримера јасно се види, да онај закон, који се јавља у разлици других степена од чистих десетица, остаје у суштини непромењен, почем разлика између квадрата појединих десетица, које долазе једна за другом, расте равномерно с по 200 је-