Prosvetni glasnik

584

НАУКА И

НАСТАВА

Сад приступимо нзиадажењу нужних и довољних уелова, скдоиљених из самих сачинитеља датих ио,/шнома <р, гр, који треба да се испуне, па да полиноми (р, џ> нмају само јсдан израз првог степена по 1' за заједничку меру. Јасно је на основу теорије адгебарских јуначина, да су захтеви мадо пре исказати, истоветни са овима : једначине <Р {{;/) = 0 а) Ч> (1,2) = 0, морају санињавати један симудтани систем, подносно непознате 1' морају имати један и само један заједничкн корен. Наппшимо систем а) у развијену обдику <р ({;/) = /Ј" + Г- 1 + + 2 П = 0 ђ) хр (Џ) = 2X4-2'^- + +2' т = 0; помоћу речене деобне методе може се увек из система ђ) скдопити једаи израз 2 ) оваквог обдпка т—/а. р—1 п п—т-(-/4—1 т 9-) <Р р № 2 ) = V (2,ђ. <р џ,ђ + (2, 1"). гр (2,ђ, где су А, В Функпије променљивпх 2 и Ј, степена 110 1', ОДНОСНО Ш—1) И (П—Ш+јИ—1). Ако сад у изразу 9) казаљци ^ дајемо цеде и нодожне вредности редом: ш, ш—1, т—2, 2, 1, добићемо редом посдедљи, претпосдедњи, претпретпосдедњи, ДРуги, први остатак. Једнанине ћ) треба, по претпоставци, за одређене вредности 2 -а, да имају заједничку меру нрвог степена ио Г. То значн, другпм речима, посдсднј И остатак треба да је пуда, т. ј. треба да ностоји једначина џ, —1 п п—1 т 10.) А т (г,!). <р (2, 1) +В т (2, 1). гр (г, Г) = 0. Одавде се множењем добија т + п једначина динеарних и хОмогених односно неодређенпх сачинптеља подннома А и В. — Детерминрнта тога система једначина мора из познатих раздога бити идентично једнака нуди. Дакде постоји 2 ) Оог<1ап, Уг1. и. Јпуапап^епЉеопе I. р. 134. Ш§, (I)

2 0 2^...

...2, 0 0 0..

О О

0 2 0 —

• • • 2 П _!2 П 0 0..

. 0 0

0 0

0 2 0 2ј ..

• 2„ 0

0 0 , ..

о 0 2 0 ..

• 2 П _! 2 П

2' 0 2',..

2 ' т 0 0 ..

. 0 0

0 2',...

■2 , т _ 1 2 ' т 0 ..

. 0 0

0 0 ....

0 2' 0 2',.

7' 7' ,/ј ш -1 /ј т

И тај однос, т. ј. Детерминанта горњег система стављена — 0, јесте нужан усдов, па да систем ђ) буде снмудтан, т. ј. да једначине у њему имају заједничких корена. Адн. да би једначине реченог система имале само један заједнички корен, нужноје, норед 11.), да постоји још један услов; и тај ћемо изнаћи овако. Кад 1з) има један заједнички корен, онда постојн једна по 1 динеарна Функцнја, којом је сваки од подинома у ћ) без остатка дељпв. Другим речима претпосдедњи остатак мора бити различан од нуле. Вредност тога остатка добија се из израза 9.) кад се стави ц=т—1, у ком сдучају 9.) добнја овакав обдик 1 111—2 11 12.) (2, 1) = А т _, (2, 1). <р (/, 0 + п—2 т + в т _ т (2, 1). <р (2, 1). 1 Па ношто је делитељ ср> (/, 1) ио 1 првог степена, то се он очевидно може преставити у облику 12 0 .) 1 + В (2) где је 11(2) рационадна Функција само 2—а. Израз 12.) добија сад овакав облнк 111—2 11 18.) 1 + В(г) = А т (2, 1). ср (г, 1') + п—2 т + в т _ х (2,1). хр (2,1). Радећи исто онако са овим изразом, као са оним под 10.), добићемо за одредбу т + п — 2 неодређена сачинитеља полинома А и В, 111+11— 1 једначина, од којих претпоследња, као што је дако увидети, има на девој страни 1; а последња^рационалну Функцију В(г). Пошто детерминанта неодређених сачинитеља у т+п—2 првих једначина није нула то се они