Prosvetni glasnik

нлстава и култура

] 055

Одавде следује, да ће СЕ увек сећи АВ, ма како малл био угао ЕСБ, према томе је СБ иаралелно са АВ (16-ти став) 12 . 19. У ираволинијском гроуглу сума његова три угла не може бити веЛа од два ирава. Претпоставимо да је у троуглу АВС ( фиг . 4) сума његова три угла 7Г а, изаберимо у случају иеједнакости страна најмању ВС, преполовимоје у Б, повуцимо из А кроз Б линију АБ и начинимо продужење њено БЕ равним са АБ, затим спојимо тачку Е правом линијом ЕС са тачком С. У конгруентним је троуглима А1)В и С1)Е угао АВГ) = ВСЕ д и В АТ) = БЕС (6-ти и 10-ти став); одавде следује. да и у троуглу АСЕ сума његова три угла мора бити равна п а, осим тога најмањи угао ВАС (9-ти став) троугла АВС прешао је у нови троугао АСЕ, нри чему је разломљен у два дел.а ЕАС и АЕС. Продужујући на овај начин, тиме што ћемо увек преполовљавати страну која лежи наспрам најмањег угла, на послетку морамо доћи до једног троугла у коме је збир његова три угла тс -(- а, али у коме се налазе два угла, од којих је сваки по својој апсолутној величини мањи од ~ а; пошто пак трећи угао не може бити већи од л, то а мора бити или нула или негативно 13 . 20. Ако је ма у коме ираволинијском троуглу сума пегова три угла равна два ирава, онда је то елучај и у сваком другом троуглу.

12 Ни овај отав није, из истог разлога као ни дређашњи, иотребно нарочито довазивати у Евклпдовом случају, јер ако је права АВ наралелна са СБ с тога што се с њом не сече, онда -је очевидно да је и ова друга с првом паралелна. Пошто пак паралелизам и особина несечења не падају уједно у геометрији Лобачевскога, то је горњи доказ Добачевског очевидно непотпун у толико у колико најпре треба утврдпти, да се С1> не сече са АВ па тев онда довазивати, да је она прва паралелна са овом другом. Да се пак СТ) не сече са АВ следује непосредно из тога што је АВ паралелно са СБ. 13 Да се половљењем најмање стране у троуглу може на показани начин доћи до једног троугла у коме ће углови, који одговарају угловпма А и Е у хроуглу АЕС, бити <— а, следује из тако званог Архимедовог постулата који гласи: »Ако су а и ћ две једнородне количине и а < 1), увек се може наћи један део број п таво да је па > М. Да један угао у троуглу не може бити већи од п следује непосредпо из деФиниције троугла и деадниције угла п (2 К). Овај је доказ Формулисао први Лежаидр у 12-ом издању свога чувеног дела »Е16теп4з <1е ОботеЈпе* Рапз 1823, одаклега је узео Лобачевски (в. његове »Неие АпГаи^гишЈе« § 90, а. 161). У трећем издању својих Елемената изашлом 1800 год. Лежандр је дао један други доказ истог става, који се налази репродуциран код Лобачевског у »Иеие АпГапјгз^гпшГе* § 90, 8. 162. (Упор. и В. Вопо1а, н. н. м. стр. 59)