Zapiski Russkago naučnago instituta vъ Bѣlgradѣ

14

Предположимъ, что совокупность уравнен!й второго (23) и (26), имБемъ интегралъ и. Въ такомъ случа соотвфтствуюшИ промежуточный интегралъ становится

и= $0), (27)

гдБ ф обозначаетъь произвольную функшю независимой перем$нной у.

Соотв$тствующее значен!е ) опредфляется вторымъ уравненемъ (21).

12. Данная теор!я восполняетъ пробЪлъ, получаюцийся вслЬдств!е того, что Лаплассово гиперболическое уравнен!е {15) не могло вообще имфть промежуточнаго интеграла, на основани изложенной теор промежуточныхъ интеграловъ (4).

Въ самомъ дЪлЬ, изъ этой теор!и слЪдовало, напримЪръ, что Эйлерово уравнеше (2), при т == — 1, будучи преобразовано къ гиперболическому виду, не можетъ имЪть промежуточнаго интеграла.

Между тЬмъ обийИ интеграль этого уравнен!я, данный въ подстрочномъ примБчан!и 5), показываетъ противное ДЪйствительно, два производныхъ уравнен!я перваго порядка. взятыхъ отъ общаго интеграла, соотвЪтственно по хи по у, разрЪшаются относительно произвольныхъ функшй (х—У) и ф(х--У). Полученныя такимъ образомъ формулы представляютъ два промежуточныхъ интеграла.

Изложенныя въ п° 11 разсужден!я устраняютъ теперь всякое возникающее здфсь недоразумЪн!е. ДЪйствительно, первый и второй инвар!анты разсматриваемаго Эйлерова уравненя, приведеннаго къ гиперболическому виду, равны нулю; во-вторыхъ, уравнения (24) и (26) тождественны съ прежними (14), (12) (разлие между обоими теор!ями заключается только въ опредзлени функщи у). Поэтому очевидно, что имБють мБсто оба промежуточныхъ интеграла вида (25) и (27), заключающихъ по произвольной функщи одной независимой перемБнной величины.

ПослЬднее заключене вполн$ согласуется съ формулами преобразован!я разсматриваемаго уравнен!я Эйлера къ гиперболическому виду. Эти формулы показываютъ, что выраженя х—у, х+у и должны быть взяты соотвфтственно за новыя независимыя перем$нныя преобразован!я.

13. Воспользуемся изложенной теор!ей, чтобы вывести обиИЙй видъ линейнаго уравнения второго порядка гиперболическаго типа (11), допускающихъь промежуточные интегральт вида (25) и (27).

Напишемъ второе уравнене (22) и (24), слъдующимъ образомъ: